教員　小林真人のページ

専門分野
位相幾何学，多様体間の写像の理論，大域的特異点論，投影による形状理解，科学教育

研究テーマ

写像による形状理解の基礎理論と応用
初学者や社会人の学び直しのための数学教材の開発

図による研究テーマの紹介

輪郭線と立体復元

$fig.1$

図1

図1(A) は，トーラス（ドーナツの表面）を線で表現したもので，図1(B), （C)は，トーラスを紙の上に投影する2タイプの方法を，図1(A)に補助線を描き加えて表現したものです。図1(A)の線は輪郭線と呼ばれます（実際には，一部は隠れて見えない）。
輪郭線は実は2次関数 $x^2$ の極値を連ねたもので，ところどころにある尖りは，3次関数 $x^3 − 3ux$ の極値の数が $u$ により変化することで発生します（Whitneyの定理, 図2）。この原理をもとに輪郭線から曲面のかたちを推測することは，ロボット視覚の研究に繋がりそうです。

この原理を一般化すると(Whitney, Thom, Mather，…，写像の特異点理論) ，目に見えない高次元のかたち（多様体）をも，投影と輪郭線を手がかりに推測することもできそうです。
たとえば， $S^2 \times S^2$ , $S^2 \tilde{\times} S^2$ （Hirzebruch の複素曲面）という4次元多様体は，ちょうどこの図と同じ輪郭線を持ちます。図1(A)のトーラスの輪郭線は，球面に把手（とって）を付けたことを表現していますが（図1(D)，(E)），Hirzebruch の複素曲面も同じく，4次元球面に把手を付けたものだということが，この輪郭線から分かります。

高次元になると，投影で失われる情報も多いのですが，それでも輪郭線は，かたち（多様体）について何かを伝えています。ときには失われた情報のいくつかを加えて様子を見ながら，輪郭線がかたちについて何を伝えているのかを探るのが，輪郭線による形状理解という研究です。

$fig.1$

図2

高次元の4つ折り

図3(B)，(C)は，放物線を放物線に沿ってスライドさせたものです。このとき，図3(A)のような尖った点を1つもつ独特な包絡線が現れます。
絵から見て取れるように，この線は「カーブしたU字型の溝」がつくる輪郭線ですが，同時にハンカチを4つ折りにしたときの輪郭線とも捉えられます。
実は，この輪郭線は a+b次元の「紙」 $D^a \times D^b$ が4つ折りされたことを示す証拠で，高次元のかたち（多様体）の輪郭線の重要な構成部品と思われ，cusped fan と呼んで研究しています（弘前大学山本稔先生との共同研究）。ここにも2次元の様子から高次元を探るという例が見られます。

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図3

パノラマビュウ

投影を利用してかたちを探る道具として，「パノラマビュウ」を考えました。図4にある図形a（鳩型）を，b,c のように，つぎつぎと角度を変えて直線に投影し，輪郭「点」を集めると（こんどは線に投影するので，輪郭は線ではなく点になる），dのような，ところどころに尖った点をもつ線が出現します。これは，実はメビウスの帯に描かれた曲線ですが，この線から，原図形の変曲点，くぼみや原図形の周囲長など，かたちの特徴を知ることができます。パノラマビュウを用いると，平面閉曲線についての，ファブリシウス-ビエレの定理，バンチョフの定理，コーシー-クロフトンの定理などの別証明が得られます（北海学園大学佐野貴志，弘前大学山本稔先生との共同研究）。

$fig.4$

図4

そのほかの最近の研究テーマ（例）

方程式の解，例えば $x^3 − y^2 − c = 0$ を満たす複素数 $x$, $y$ がつくる4次元空間内の曲面のかたちを，実部への投影を使って探る（大学院生との研究）
$P^2$ (射影平面)は3次元空間に住めない曲面の最も基本的な例であるが，その古典的3次元モデル（Steiner曲面，Boy曲面）の理解と再構築を行う（大学院生との研究）
多角形の中心を軌跡として捉え，どんな形状の軌跡が現れるのか，また，軌跡をもとに凸多角形の形状分類ができるかを考える（4年生との研究）。図5は，5角形の中心の軌跡の作図を示している。中央の線が中心の軌跡で，軌跡の囲む領域の大きさや膨らみ方が大きく異なることがわかる